BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Istilah “tabung”, “kerucut”, dan “bola” di sini adalah istilah-istilah matematika. Namun konsep tabung, kerucut, dan bola bersumber pada bangun-bangun nyata sehari-hari.  Perhatikan gambar beberapa benda di bawah ini. Benda-benda tersebut berbentuk mirip apa yang kita sebut “tabung”,”kerucut, atau “bola”. 

Aktivitas 1   

• Bentuklah kelompok!.
• Untuk setiap kelompok, diskusikan mengenai apa saja manfaat dari bentuk tabung, apa saja manfaat bentuk kerucut, dan apa saja manfaat bentuk bola. Kamu bisa menulis manfaat bentuk-bentuk tersebut dari penggunaanya sehari-hari yang dapat kamu temukan selain bentuk fisik bangun tabung, kerucut, dan bola.  
• Tulis dan kemukakan hasil diskusi dalam kelompok di depan kelas. 
• Mintalah pendapat gurumu. 

A. Tabung

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah lingkaran yang kongruen dan sejajar serta bidang lengkung yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut. 

Jadi, ada tiga buah bangun yang membentuk tabung yaitu bidang datar berupa daerah 2 lingkaran yang kongruen dan sebuah bidang lengkung yang disebut selimut tabung.  Kedua lingkaran pada tabung disebut alas-alas tabung. Beberapa buku, menulis lingkaran yang satu sebagai alas dan yang lain sebagai atas. Namun ini hanya untuk membedakan saja, tidak berarti bahwa yang satu ada di bawah dan yang lain ada di atas. 

Bentuk tabung-tabung pada gambar di bawah adalah tabung yang bersifat “tegak”  atau disebut tabung tegak, yaitu bidang lengkung tegak lurus alas

Menurut definisi, sesungguhnya terdapat pula tabung yang tidak tegak, dan kita sebut tabung miring. Pada tabung miring, kedua lingkaran (alas) tetap sejajar

Namun, secara umum bila disebutkan “tabung” maka yang dimaksud adalah tabung tegak. Jadi, untuk menunjukkan sebuah tabung tegak, disepakati dalam matematika cukup disebut “tabung” saja. Namun, bila yang dimaksud tabung miring maka harus ditulis lengkap. (bandingkan, dengan penulisan +3 yang cukup ditulis 3, namun untuk yang negatif harus ditulis tanda negatifnya, −3). 

Pada tabung, dikenal istilah tinggi tabung. Tinggi tabung adalah jarak kedua alas tabung. Perlu pula diketahui bahwa pada lukisan sebuah tabung, dikenal istilah garis pelukis tabung, yaitu garis pada bidang lengkung yang membatasi gambar tabung.

1. Luas Permukaan Tabung

Dengan memperhatikan jaring-jaring sebuah tabung, maka luas permukaan tabung ditentukan oleh luas tiga bangun datar, yaitu dua lingkaran dan sebuah persegipanjang. Luas persegipanjang sama dengan luas bidang lengkung tabung yaitu luas selimut. 

Jadi,  jika jari-jari alas tabung = r  dan tinggi tabung t  maka diperoleh:
Luas selimut  =  luas persegipanjang  =  panjang × lebar  =  keliling alas × tinggi  =  2πr × t  =  2πrt   

Luas permukaan tabung  =  2 × luas alas + luas selimut  =  2πr2 + πrt    =  πr(2r + t)  Ingat, π = 3,14159265358....  yang sering dibulatkan menjadi 3,14 atau 22/7.  Jadi, 

Rumus Luas Selimut Tabung & Luas Permukaan Tabung Bila jari-jari alas = r  dan tinggi tabung = t maka  Luas selimut = 2πrt    Luas permukaan tabung = 2πr2 + πrt  = πr(2r + t)

2. Volum Tabung 

Ingat kembali, bahwa volum prisma ditentukan oleh perkalian luas alas dan tinggi prisma.  Maka volum tabung juga dapat ditentukan seperti itu. Mengapa demikian? 
2πrt
Perhatikan bahwa tabung dapat dianggap sebagai prisma dengan alas berupa segibanyak beraturan, dengan banyak seginya menuju tak-hingga. 

Jadi,  Dengan jari-jari alas tabung = r  dan tinggi tabung = t  maka
Volum tabung =  πr2 × t  =  πr2t
Rumus Volum Tabung Bila jari-jari alas = r  dan tinggi tabung = t maka  Volum tabung = πr2t

SOAL LATIHAN

1. Diketahui sebuah tabung dengan alas berjari-jari 14 cm, dan tinggi 25 cm.  Tentukan luas permukaan tabung dan tentukan pula volum tabung!  
2. Sebuah tabung memiliki alas berdiameter 20 cm dan tinggi 10 cm. Berapa luas selimut tabung dan berapa pula volum tabung?  
3. Harman ingin membuat sebuah tabung dari bahan seng dengan volum 1256 cm3. Bila alasnya berjari-jari 7 cm, berapa luas sengminimal yang harus dipersiapkannya?  
4. Andi ingin membuat sebuah tabung tanpa tutup (seperti gelas). Ia ingin volum tabungnya 1540 cm3. Jika alas tabung yang telah ada berjari-jari 7 cm, berapa tinggi tabung yang harus Andi buat? 
5. Sebuah tabung diisi air setinggi 5 cm. Bila tabung memiliki luas alas 100 cm2 dan tinggi tabung 8 cm, berapa volum ruang kosong (udara) di dalam tabung?  

B. Kerucut 
Definisi Kerucut Bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah lingkaran dan sebuah bidang lengkung yang menghubungkan lingkaran dengan sebuah titik di luar bidang (datar) yang memuat lingkaran
Seperti pada tabung, dengan definisi ini juga dikenal kerucut tegak dan kerucut miring. Namun, seperti yang dapat menduga, apa yang kita sebut “kerucut” secara umum berarti kerucut tegak. 

Contoh kerucut atau kerucut tegak

Contoh kerucut miring

Bagian atau unsur kerucut antara lain: alas, selimut, titik puncak, garis pelukis, dan  tinggi kerucut.  • Alas kerucut adalah daerah lingkaran yang membentuk kerucut
Selimut kerucut adalah bidang lengkung yang membentuk kerucut.
Titik puncak kerucut adalah titik di luar bidang yang melalui alas dan dihubungkan oleh selimut kerucut.
Garis pelukis adalah garis yang terlukis dari bidang lengkung kerucut, yang membatasi gambar kerucut.
Tinggi kerucut adalah jarak titik puncak ke alas kerucut

1. Luas Permukaan Kerucut
Dengan memperhatikan jaring-jaring kerucut yang dibentuk dari sebuah garis pelukis dan keliling alas, maka dapat dipahami bahwa luas permukaan kerucut adalah jumlah luas alas yang berupa lingkaran dan selimut kerucut yang berupa juring sebuah lingkaran
Bila jari-jari alas kerucut = r,  tinggi kerucut = t, dan panjang garis pelukis =  s , maka diperoleh hubungan sebagai berikut. 

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras:   s2 = t2 + r2

Seperti yang telah kamu pelajari, untuk menentukan luas sebuah juring lingkaran dibutuhkan data mengenai sudut pusat busur juring tersebut. Namun dalam hal selimut kerucut ini, data yang kita ketahui hanya 2 di antara r, t, dan s.  Bagaimana caranya?  

Dengan menganggap keliling juring berupa ruas garis-ruas garis yang bersambung dan sangat banyak menuju tak hingga, maka luas juring merupakan jumlah luas segitiga-segitiga dengan alas pada keliling juring dan tinggi segitiga adalah jari-jari busur juring.
Rumus Luas Selimut Kerucut & Luas Permukaan Kerucut
Bila jari-jari alas = r, tinggi kerucut = t dan panjang garis pelukis = s maka  s2 = r2 + t2
Luas selimut = πrs
Luas permukaan kerucut = πr2 + πrs  = πr(r + s)

2, Volum Kerucut
Sama halnya dengan volum tabung yang ditentukan dengan menganggapnya sebagai prisma, maka volum kerucut dapat pula dianggap sebagai volum limas.  Dalam hal ini, alas limasnya adalah lingkaran dan tinggi limasnya adalah tinggi kerucut. 
Jika volum limas =  1/3 × luas alas × tinggi limas, maka 
Volum kerucut =  1/3 × luas lingkaran × tinggi kerucut = 1/3 × πr2 × t = 1/3 πr2t

SOAL LATIHAN

1. Sebuah kerucut dengan alas berjari-jari  10 cm, dan tinggi kerucut 16 cm. Hitunglah luas selimut, luas permukaan, dan volum kerucut!  (gunakan π ≈ 3,14)  
2. Sebuah kerucut memiliki luas selimut 440 cm2 dan luas alas 154 cm2.  Hitunglah jari-jari alas kerucut, panjang garis pelukis, dan volum kerucut. (gunakan π ≈ 22/7) 
3. Kerucut I memiliki jari-jari alas 10 cm dan tinggi 12 cm, kerucut II memiliki jari-jari 12 cm. Berapa tinggi kerucut II agar volumnya sama dengan kerucut I?  (gunakan π ≈ 3,14)  
4. Putri ingin membuat sebuah kerucut dengan jari-jari alas 14 cm. Jika diinginkan volum kerucut yang terbentuk paling sedikit 5000 cm3, berapa luas bahan minimal yang harus dipersiapkan?  (gunakan π ≈ 22/7) 
5. Sebuah gedung museum berbentuk kerucut. Alas gedung tersebut berdiameter 100 m dan tinggi gedung tersebut 60 m. Jika untuk setiap kaleng cat dapat digunakan untuk mengecat permukaan seluas 30m2, maka berapa kaleng cat yang dibutuhkan untuk mengecat permukaan luar gedung museum tersebut? (gunakan π ≈ 3,14)  

C. Bola
Definisi Bola Bangun ruang yang berupa bidang lengkung tertutup di mana setiap titik pada bidang tersebut berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, atau  Himpunan semua titik pada ruang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.
Pada definisi di atas, titik di tengah-tengah bola disebut titik pusat bola, dan jarak yang sama disebut jari-jari bola

1. Luas Permukaan Bola

• Pilihlah sebuah benda berbentuk bola, lalu belahlah menjadi 2 bagianyang sama menghasilkan setengah bola. Kamu dapat menggunakan bola kaki dariplastik, tempurung kelapa yang cukup bundar, atau yang lainnya. 
• Pilihlah benda tabung dengan alas yang sama dengan alas setengah bola tersebut, dan tinggi tabung sama dengan jari-jari bola. Jika sulit diperoleh, buatlah tabung tersebut dengan menggunakan kertas yang cukup tebal.  
• Ambillah tali yang tidak mudah “melar” (memanjang-memandek). 
• Lilitkan tali pada setengah bola hingga menutupi selimut setengah bola. Potong tali, bila masih ada yang tersisa.  
• Setelah itu lilitkan tali yang sama pada selimut tabung.  
• Apakah tali yang sama dapat menutupi selimut tabung tanpa ada yang tersisa, baik tali maupun bagian selimut tabung? 

Dengan demikian,  bila setengah bola berjari-jari r maka
Luas permukaan setengah bola =  luas selimut tabung dengan tinggi r  =  2 πr × r  =  2 πr2  Sehingga, luas permukaan bola  =  2 × luas permukaan setengah bola =  2 × 2πr2   =  4 πr2
Jadi, diperoleh kesimpulan.
Rumus Luas Permukaan Bola Jika jari-jari bola = r  maka
Luas permukaan bola, L = 4πr2
   
2.  Volum Bola

• Pilihlah 1 buah semangka yang hampir bundar. Kamu dapat mengganti semangka dengan buah melon, buah mangga, atau lainnya yang bentuknya hampir bundar, dan isinya tidak kosong (tidak berisi air saja).  
• Potong buah tersebut menjadi dua. Salah satu bagian potong kembali menjadi dua, dengan arah potongan yang masih sama. Demikian seterusnya hingga kamu sulit atau tidak dapat memotong lagi dengan arah yang masih sama. Perhatikan bentuk yang kamu peroleh. 
• Potong bagian terakhir tadi dengan arah yang berbeda, yaitu dari tengah-tengah bagian dalam, seperti membentuk juring lingkaran. Perhatikan gambar di atas.  
• Bagian terkecil yang kamu peroleh mendekati bangun limas bukan?

Bila potongan bola tersebut semakin banyak, dengan memperbanyak garis membujur dan garis melintang, maka jumlah seluruh alas limas tersebut menjadi permukaan bola itu sendiri dan untuk setiap limas tersebut berjari-jari sama dengan jari-jari bola
Dengan demikian diperoleh,  Jika luas alas limas dilambangkan dengan A, dan tinggi = r  (jari-jari bola) 
Volum bola  =  jumlah volum semua limas 
                     =  1/3 × A1 × r  +  1/3× A2 × r  +   1/3× A3 × r  +  ...  
                     =  1/3 × (A1 +  A2 + A3 +  ...) × r    
                     =  1/3 × (luas permukaan bola) × r    
                     =  1 3 × 4πr2 × r 
                     =  4/3 πr3    
Jadi, diperoleh kesimpulan.
Rumus Volum Bola Jika jari-jari bola = r   maka 
Volum bola, V = 4/3 πr3

SOAL LATIHAN.

1. Hitunglah luas permukaan bola dan volum bola jika diketahui jari-jari bola 7 cm!  (gunakan π ≈ 22/7)  
2. Hitunglah luas permukaan bola dan volum bola jika jari-jari bola 10 cm! (gunakan π ≈ 3,14)   
3. Sebuah bola memiliki luas permukaan 1256 cm2, maka berapa volumnya? (gunakan π ≈ 3,14)  
4. Sebuah baskom atau tempat air berbentuk setengah bola. Ternyata tempat air tersebut paling banyak mampu menampung air sebesar 38808 cm3. Berapa cm jari-jari setengah bola itu? (gunakan π ≈ 22/7) 
5. Diketahui perbandingan volum bola I dan volum bola II adalah 1 : 8. Jika luas permukaan bolaI adalah 12,56 cm2, berapa luas permukaan bola II?  (gunakan π ≈ 3,14) 

Untuk Mengecek Pemahamanmu terhadap Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung, silahkan  jawab quiznya!.